6. Orthogonal Matrix와 로컬좌표계, 월드좌표계

프로젝트/초간단3d엔진 20112011. 12. 29. 12:04

6. Orthogonal Matrix와 로컬좌표계, 월드좌표계

Orthogonal Matrix 는 직교행렬입니디

이전에 Obj3d가 좌표계라고 생각하고 구현했스빈다

즉 로컬 좌표계에서 위치에 있는 점에 대해서

월드 좌표계에서는 어디에 위치하느냐를 알아내는 부분이라고 할수 있겟스빈당.

단순화 시켜서 2차원 좌표계를 생각해보면 다음과 같습니다.

cos(45도) sin(45도) 를 생각하시믄 됩니다.

어떤 회전시키는 행렬,, 그 자체는 자신의 성분을 행렬원소로 합니다.

장난 아니죠, 감동스럽습니다.

잘 보면 검정색 좌표계를 기준으로 (1/sqrt(2) , - 1/sqrt(2)) 는

빨간색 좌표계를 기준으로 봤을때 (1,0) 이 됩니다.

검정색을 월드 좌표계라고 보고

빨간색을 로컬 좌표계라고 합시다.

그리고 두 좌표계는 원점은 일치하나 회전정도가 다르다고 합시당

즉 빨간색 좌표계의 포즈벡터를 성분으로 하는 저 행렬은

월드좌표 -> 로컬좌표

로 변환시켜주는 겁니다.

그러면

로컬좌표 -> 월드좌표

변환하려면? 역행렬을 구하면 됩니다.

근데 진짜 소름끼칠만한게 있습니다.

Orthogonal Matrix 의 역행렬을 구하는것은

그냥 전치행렬을 구하는것과 같습니다.

제가 Obj3d 에서 lookAt 연산을 구현할때 그렇게 up, at, _hv 벡터를 직교시킨뒤에

크기를 1로 정규화 시키려고 난리를 폈던 이유가 있습니다.

걍 포즈 벡터들만 있으면 , 그냥 다 되는겁니다. 엄충 짱이죠

우선 Mat4 에다가 기능을 추가해보도록 하겠습니다.

/*
 * @author: SKKUASSA
 */

ASSA3d.Mat4 = function(
		n11,n12,n13,n14,
		n21,n22,n23,n24,
		n31,n32,n33,n34,
		n41,n42,n43,n44
	){
	// 단위행렬
	this.set(
		n11||1, n12||0, n13||0, n14||0,
		n21||0, n22||1, n23||0, n24||0,
		n31||0, n32||0, n33||1, n34||0,
		n41||0, n42||0, n43||0, n44||1
	);
};

ASSA3d.Mat4.prototype = {
	
	constructor: ASSA3d.Mat4,
	
	set: function(
		n11,n12,n13,n14,
		n21,n22,n23,n24,
		n31,n32,n33,n34,
		n41,n42,n43,n44
	){
		this.n11=n11; this.n12=n12; this.n13=n13; this.n14=n14; 
		this.n21=n21; this.n22=n22; this.n23=n23; this.n24=n24; 
		this.n31=n31; this.n32=n32; this.n33=n33; this.n34=n34; 
		this.n41=n41; this.n42=n42; this.n43=n43; this.n44=n44; 
		return this;
	},
	
	// Mat4 프로토타입에 추가하기	
	setIdentity: function(){
		return this.set(
			1,0,0,0,
			0,1,0,0,
			0,0,1,0,
			0,0,0,1
		);
	},
	setTranslation: function( x, y, z ){
		return this.set(
			1,0,0,x,
			0,1,0,y,
			0,0,1,z,
			0,0,0,1
		);
	},
	/*
	 * Orthogonal Matrix Transpose
	 * 로컬 좌표계 좌표 에서 
	 * 월드 좌표계로 좌표 회전 변환 
	 * 이동변환과 맞물려서 계산된다.
	 * 
	 *  u: x 축 , _hv
	 *  v: y 축 , up
	 *  n: z 축 , at
	 */
	setOrthogonalT: function( u, v, n ){
		this.set(
			u.x, v.x, n.x, 0,
			u.y, v.y, n.y, 0,
			u.z, v.z, n.z, 0,
			0, 0, 0, 1
		);
	},
	/*
	 * 원점이 일치할 때 
	 * 월드 좌표계의 좌표가 로컬좌표계에서
	 * 어떻게 보이는가
	 */
	setOrthogonal: function( u, v, n ){
		this.set(
			u.x, u.y, u.z, 0,
			v.x, v.y, v.z, 0,
			n.x, n.y, n.z, 0,
			0, 0, 0, 1
		);
	},
	
	mulVec4: function( v ){
		var vx = v.x, vy = v.y, vz = v.z, vw = v.w;
		
		v.x = this.n11*vx + this.n12*vy + this.n13*vz + this.n14*vw;
		v.y = this.n21*vx + this.n22*vy + this.n23*vz + this.n24*vw;
		v.z = this.n31*vx + this.n32*vy + this.n33*vz + this.n34*vw;
		v.w = this.n41*vx + this.n42*vy + this.n43*vz + this.n44*vw;
	
		return v;
	}
};

(Mat4.js)

그럼 이게 실제로 될까요??

그냥 45도 일때만 운좋게 맞은거지 다른 각도는 안되는거 아닐까요??

그래서 실험을 해보겠습니다.

좌표계를 하나 만들고 lookAt 으로

(0, -2, 1) 지점을 바라보는 로컬 좌표계를 가정해봅니다.

실제로 테스트를 해 봅시다.

html 의 script 태그 사이에서 위 그림을 반영하는 테스트 코드를 넣어봅니다.

가정한대로 잘 나왔습니다.

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Posted by 멍충한아싸

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